L’exercice 1.1 d’Ottem et Ellingsrud demande:
In any ring the radical of an ideal @\mathfrak{a}@ equals the intersection of the prime ideals containing the ideal. Show, using the Nullstellensatz, that in the polynomial ring @k[x_1,\dots,x_n]@ the radical @\sqrt{\mathfrak{a}}@ equals the intersection of all the maximal ideals containing @\mathfrak{a}@.
Tout d’abord, je souhaite me rafraîchir la mémoire et redémontrer la première assertion qu’ils font, c’est-à-dire que le radical d’un idéal est en fait l’intersection de tous les idéaux premiers qui le contiennent. Je trouve que c’est une caractérisation intéressante du radical. Peut-être même que je vais créer un autre article spécifiquement pour ça ! La preuve n’est pas triviale, en tout cas pour l’une des deux inclusions.
La première inclusion est facile à voir: soit @\{\mathfrak{p}_i\}_{i\in I}@ la collection de tous les idéaux premiers qui contiennent @\mathfrak{a}@. Vu que pour tout idéal premier @x^n \in \mathfrak{p_i}@ implique que @x\in\mathfrak{p_i}@ (pour un certain entier @n\geq 1@), il est clair que @\sqrt{\mathfrak{a}}\subseteq \bigcap_{i\in I}\mathfrak{p_i}@.
C’est la seconde inclusion qui pose problème. Je vais la montrer par contrapositive: soit @x\notin \sqrt{\mathfrak{a}}@. Je considère la collection @\mathcal{I}@ des idéaux @\mathfrak{b}\supseteq \mathfrak{a}@ tels que @x^n\notin\mathfrak{b}@ pour tout entier @n\geq 1@.
Si j’ordonne partiellement cette collection par l’inclusion, le lemme de Zorn me donne l’existence d’un élément maximal @\mathfrak{p}\in\mathcal{I}@. Je veux montrer que @\mathfrak{p}@ est premier. Soit @a@ et @b@ deux éléments de l’anneau tels que @a,b\notin \mathfrak{p}@. Par maximalité, ni @\mathfrak{p}+(a)@ ni @\mathfrak{p}+(b)@ ne font partie de la collection @\mathcal{I}@. Par exemple, comme @a\notin \mathfrak{p}@, l’idéal @\mathfrak{p}+(a)@ (i.e. le plus petit idéal qui contient à la fois @\mathfrak{p}@ et @(a)@) contient strictement @\mathfrak{p}@. Donc il existe deux entiers @n@ et @m@ tels que @x^n\in \mathfrak{p}+(a)@ et @x^m\in\mathfrak{p}+(b)@. Puisque l’idéal @\mathfrak{p}+(ab)@ contient @x^{n+m}@, il n’est lui non plus pas contenu dans @\mathcal{I}@. En particulier @ab\notin\mathfrak{p}@ car sinon ajouter @(ab)@ à @\mathfrak{p}@ n’aurait rien changé, ce qui n’est pas le cas. Cela prouve que @\mathfrak{p}@ est premier. Mais alors @\bigcap_{i\in I}\mathfrak{p}_i\subseteq \mathfrak{p}@ et puisque @x\notin \mathfrak{p}@ par construction, je retrouve bien que @x\notin\bigcap_{i\in I}\mathfrak{p_i}@, ce qu’il fallait démontrer.