L'existence et l'unicité de l'expansion en série de Laurent

Soit Ω\Omega un domaine et f:Ω→ℂf:\Omega\to\mathbb{C} une fonction holomorphe.

Je prend un z∈Az\in A

γ1(t)=r1e−it\gamma_1(t) = r_1e^{-it} et γ2(t)=r2eit\gamma_2(t) = r_2e^{it}.

(TODO: expliquer) Par la formule intégrale de Cauchy on a que f(z)=12πi(∮γ1f(w)w−zdz+∮γ2f(w)w−zdz)\begin{equation} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\left(\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dz + \oint_{\gamma_2} \frac{f(w)}{w-z}dz\right) \end{equation}

Existence de l’expansion

Développement de la partie principale

Lorsque ww est sur le chemin γ1\gamma_1, on a que 1w−z=1(w−a)−(z−a)=1w−a⋅11−z−aw−a=1w−a−(w−a)z−a∑n=0∞(w−az−a)n=−1w−a∑n=1∞(w−az−a)n\begin{align} \frac{1}{w-z} &= \frac{1}{(w-a)-(z-a)} = \frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}\\ &= \frac{1}{w-a}\frac{-(w-a)}{z-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n\\ &= \frac{-1}{w-a}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n \end{align} puisque |z−aw−a|>1|\frac{z-a}{w-a}|>1 il faut utiliser l’autre formule pour une série géométrique.

Puisque ww est sur le chemin γ1\gamma_1, la distance entre ww et aa est plus petite que celle entre zz et aa. Donc pour tout ww, |w−az−a|≤ρ<1|\frac{w-a}{z-a}|\leq \rho < 1 pour un certain ρ\rho réel positif et |w−az−a|n≤ρn|\frac{w-a}{z-a}|^n\leq \rho^n pour tout nn. Comme ff est continue sur γ1\gamma_1, elle est localement bornée et par compacité de γ1\gamma_1 bornée par un certain réel CC. Donc pour tout w∈γ1w\in\gamma_1 et pour tout nn, |f(w)w−a⋅(w−az−a)n|≤Cρn\begin{equation} \left|\frac{f(w)}{w-a}\cdot\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n\right|\leq C\rho^n \end{equation}

Par le test M de Weierstrass, la série ∑n=1∞f(w)(w−a)n−1(z−a)n\sum_{n=1}^\infty \frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n} converge absolument et uniformément sur γ1\gamma_1.

On peut commuter l’intégration et la somme: 12πi∮γ1f(w)w−zdw=12πi∮γ1∑n=1∞−f(w)(w−a)n−1(z−a)ndw=−12πi∑n=1∞∮γ1f(w)(w−a)n−1(z−a)ndw=12πi∑n=−∞−1∮−γ1f(w)w−a(z−aw−a)ndw=∑n=−∞−1(z−a)n12πi∮−γ1f(w)(w−a)n+1dw\begin{align} \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dw &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_1}\sum_{n=1}^\infty\frac{-f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}dw\\ &= \frac{-1}{2\pi i}\sum_{n=1}^\infty \oint_{\gamma_1} \frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}dw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{n=-\infty}^{-1}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{w-a}\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^ndw\\ &= \sum_{n=-\infty}^{-1}(z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align}

Développement de la partie de Taylor

En procédant de façon similaire à la partie précédente, je trouve que f(w)w−z=f(w)w−a∑n=0∞(z−aw−a)n \frac{f(w)}{w-z} = \frac{f(w)}{w-a}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-a}{w-a}\right)^n converge absolument et uniformément sur γ2\gamma_2.

Donc 12πi∮γ2f(w)w−zdw=12πi∮γ2f(w)w−a∑n=0∞(z−aw−a)ndw=12πi∑n=0∞∮γ2f(w)(z−a)n(w−a)n+1dw=∑n=0∞(z−a)n12πi∮γ2f(w)(w−a)n+1dw\begin{align} \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{w-z}dw &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{w-a}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^ndw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty \oint_{\gamma_2}\frac{f(w)(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}dw\\ &= \sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align}

On recolle tout

f(z)=12πi(∮γ1f(w)w−zdz+∮γ2f(w)w−zdz)=∑n=−∞−1(z−a)n12πi∮−γ1f(w)(w−a)n+1dw+∑n=0∞(z−a)n12πi∮γ2f(w)(w−a)n+1dw\begin{align} f(z) &= \frac{1}{2\pi i}\left(\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dz + \oint_{\gamma_2} \frac{f(w)}{w-z}dz\right)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{-1}(z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw + \sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align}

Puisque −γ1-\gamma_1 est homotope à γ2\gamma_2 dans l’anneau, l’intégrale d’une même fonction le long de ces chemins donne le même résultat. Ainsi on peut écrire f(z)=∑n=−∞∞cn(z−a)nf(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n où cn=12πi∮γf(w)(w−a)n+1dwc_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw avec γ\gamma un lacet quelconque dans l’anneau.

Unicité de l’expansion

On suppose qu’on a deux expansions en série de Laurent pour ff en zz: f(z)=∑n=−∞∞cn(z−a)n=∑n=−∞∞cn′(z−a)nf(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'(z-a)^n

On multiplie des deux côtés par (z−a)−k−1(z-a)^{-k-1} pour kk un entier arbitraire et on intègre sur γ\gamma un lacet dans l’anneau. ∮γ∑n=−∞∞cn(z−a)n−k−1dz=∮γ∑n=−∞∞cn′(z−a)n−k−1dz\oint_\gamma \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^{n-k-1}dz = \oint_\gamma \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'(z-a)^{n-k-1}dz

Ces séries convergent absolument et uniformément sur r+ε≤|z−a|≤R−εr+\varepsilon\leq |z-a|\leq R-\varepsilon où ε\varepsilon est un nombre assez petit pour que γ\gamma soit complètement contenu dans l’anneau restreint. Donc l’intégration et la sommation peuvent être interchangées: ∑n=−∞∞cn∮γ(z−a)n−k−1dz=∑n=−∞∞cn′∮γ(z−a)n−k−1dz\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz et l’identité ∮γ(z−a)n−k−1dz=2πiδnk\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz = 2\pi i\delta_{nk} avec δij\delta_{ij} le delta de Kronecker, permet de conclure.