TODO: really rough article, clean it up!

Soit @\Omega@ un domaine et @f:\Omega\to\mathbb{C}@ une fonction holomorphe.

Je prend un @z\in A@

@\gamma_1(t) = r_1e^{-it}@ et @\gamma_2(t) = r_2e^{it}@.

(TODO: expliquer) Par la formule intégrale de Cauchy on a que \begin{equation} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\left(\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dz + \oint_{\gamma_2} \frac{f(w)}{w-z}dz\right) \end{equation}

Existence de l’expansion#

Développement de la partie principale#

Lorsque @w@ est sur le chemin @\gamma_1@, on a que

@@ \begin{align} \frac{1}{w-z} &= \frac{1}{(w-a)-(z-a)} = \frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}\\ &= \frac{1}{w-a}\frac{-(w-a)}{z-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n\\ &= \frac{-1}{w-a}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n \end{align} @@

puisque @|\frac{z-a}{w-a}|>1@ il faut utiliser l’autre formule pour une série géométrique.

Puisque @w@ est sur le chemin @\gamma_1@, la distance entre @w@ et @a@ est plus petite que celle entre @z@ et @a@. Donc pour tout @w@, @|\frac{w-a}{z-a}|\leq \rho < 1@ pour un certain @\rho@ réel positif et @|\frac{w-a}{z-a}|^n\leq \rho^n@ pour tout @n@. Comme @f@ est continue sur @\gamma_1@, elle est localement bornée et par compacité de @\gamma_1@ bornée par un certain réel @C@. Donc pour tout @w\in\gamma_1@ et pour tout @n@, \begin{equation} \left|\frac{f(w)}{w-a}\cdot\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n\right|\leq C\rho^n \end{equation}

Par le test M de Weierstrass, la série

@@\sum_{n=1}^\infty \frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}@@

converge absolument et uniformément sur @\gamma_1@.

On peut commuter l’intégration et la somme:

@@ \begin{align} \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dw &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_1}\sum_{n=1}^\infty\frac{-f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}dw\\ &= \frac{-1}{2\pi i}\sum_{n=1}^\infty \oint_{\gamma_1} \frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}dw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{n=-\infty}^{-1}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{w-a}\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^ndw\\ &= \sum_{n=-\infty}^{-1}(z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align} @@

Développement de la partie de Taylor#

En procédant de façon similaire à la partie précédente, je trouve que

@@ \frac{f(w)}{w-z} = \frac{f(w)}{w-a}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-a}{w-a}\right)^n@@

converge absolument et uniformément sur @\gamma_2@.

Donc

@@ \begin{align} \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{w-z}dw &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{w-a}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^ndw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty \oint_{\gamma_2}\frac{f(w)(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}dw\\ &= \sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align} @@

On recolle tout#

@@ \begin{align} f(z) &= \frac{1}{2\pi i}\left(\oint_{\gamma_1} \frac{f(w)}{w-z}dz + \oint_{\gamma_2} \frac{f(w)}{w-z}dz\right)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{-1}(z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{-\gamma_1} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw + \sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw \end{align} @@

Puisque @-\gamma_1@ est homotope à @\gamma_2@ dans l’anneau, l’intégrale d’une même fonction le long de ces chemins donne le même résultat. Ainsi on peut écrire

@@f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n@@

où

@@c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw@@

avec @\gamma@ un lacet quelconque dans l’anneau.

Unicité de l’expansion#

On suppose qu’on a deux expansions en série de Laurent pour @f@ en @z@:

@@f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'(z-a)^n@@

On multiplie des deux côtés par @(z-a)^{-k-1}@ pour @k@ un entier arbitraire et on intègre sur @\gamma@ un lacet dans l’anneau.

@@\oint_\gamma \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^{n-k-1}dz = \oint_\gamma \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'(z-a)^{n-k-1}dz@@

Ces séries convergent absolument et uniformément sur @r+\varepsilon\leq |z-a|\leq R-\varepsilon@ où @\varepsilon@ est un nombre assez petit pour que @\gamma@ soit complètement contenu dans l’anneau restreint. Donc l’intégration et la sommation peuvent être interchangées:

@@\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n'\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz@@

et l’identité

@@\oint_\gamma (z-a)^{n-k-1}dz = 2\pi i\delta_{nk}@@

avec @\delta_{ij}@ le delta de Kronecker, permet de conclure.